Родился в Ленинграде. В 1972 году окончил Московский полиграфический институт по специальности «Инженер-механик полиграфических машин». В 1983 году получил второе высшее образование в Ленинградском институте театра, музыки и кинематографии по специальности «Театровед-организатор театрального дела». В 2002 году получил научную степень кандидата экономических наук.

По своей второй специальности начал работу в качестве заместителя директора Ленинградского театра Музыкальной комедии, где проработал с 1979 по 1984 год. Затем был переведен на должность директора Дворца работников искусств им. К. С. Станиславского. С 1986 года был назначен директором Ленинградского драматического театра им. В. Ф. Комиссаржевской, а с 1995 года работал в должности исполнительного директора Мариинского театра. Затем, с 2000 года, почти пять лет, был директором Филармонии им. Д. Д. Шостаковича.

С 2005 года - генеральный директор Санкт-Петербургского театра Музыкальной комедии.

Одновременно, с 2005 по 2014 гг. работал в качестве первого заместителя художественного руководителя-директора Мариинского театра.

В 2002 году Ю. А. Шварцкопф был награжден Знаком «За заслуги в области культуры», в 2003 году — Орденом «Дружбы народов», Кавалер Ордена «За заслуги перед Республикой Польша» (2003 год).

В 2007 году ему присвоено почетное звание «Заслуженный деятель искусств России».

В 2008 году Ю.А. Шварцкопфу присвоена правительственная награда Венгрии «Орден Венгерской Республики».

Как продюсер мюзикла «Бал вампиров» удостоен Премии Правительства Санкт-Петербурга в области литературы, искусства и архитектуры за 2011 год «За достижения в области музыкально-сценического искусства».

В 2014 году стал лауреатом Премии имени Андрея Толубеева "За осуществление серии масштабных проектов в жанре мюзикла".